Bab IV Probabilitas

Pencacahan Ruang Sampel

a. Ruang sample 

Ruang sample dari suatu percobaan adalah himpunan semua kejadian (hasil) yang mungkin terjadi. Untuk selanjutnya ruang sample dituliskan lambang “S”. Contoh: • Ruang sample pada pengetosan sebuah dadu adalah S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} • Ruang sample pada pengetosan mata uang logam adalah S={ A, G }

b. Titik Sampel 

Titik Sampel adalah anggota dari ruang sampel. Contoh: • Titik sampel pelemparan kubus bernomor adalah 1,2,3,4,5,6 • Titik sampel padapelemparan kubus bernomor yang merupakan bilangan prima adalah 2,3,5

Contoh :

1. Pada pelemparan 2 buah uang logam. Tentukan!

a. Ruang sampel

b. Titik sampel

Jawab:

1. S = {(AA), (AG), (GA), (GG)}

b.   Titik sampelnya ada 4 yaitu : {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}

Pengertian Permutasi dan Kombinasi

Sebelum mengetahui pengertian permutasi dan kombinasi ada baiknya kita terlebih dahulu mengetahui pengertian dari faktorial. Sebab setiap penghitungan permutasi dan kombinasi tidak terlepas dari penghitungan faktorial.

Faktorial adalah perkalian suatu bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif lain yang kurang dari bilangan bulat tersebut. Lambang faktorial berupa tanda seru (!). Sebagai contoh faktorial dari 7 adalah 7! = 1x2x3x4x5x6x7

Permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek. Rumus permutasi adalah sebagai berikut.

Contoh soal:

Lima buah hadiah yang berbeda akan diberikan kepada 3 orang juara kelas. Namun setiap para juara hanya akan mendapat masing-masing 1 buah hadiah. Berapakah susunan hadiah yang dapat dibentuk untuk dapat diberikan kepada ketiga juara tersebut?

Jawab:

Dari soal di atas, kita akan membuat susunan 3 hadiah dari 5 hadiah, sehingga r = 3 dan n = 5. Sehingga dengan menggunakan rumus permutasi, diperoleh jumlah susunan yang dapat dibentuk sebanyak:

Kombinasi adalah kumpulan sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut

Contoh Penghitungan

Misalkan dalam suatu tim terdapat 4 orang alhli statistik yang sedang melakukan proyek survey. Dalam proyek survey tersebut dibutuhkan 2 orang ahli statistik yang untuk sementara ditugaskan membantu bagian entry data. Dua orang tersebut diambil dari 4 orang ahli statistik tadi. 

Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang tersebut dihitung menggunakan rumus kombinasi, dimana nilai r = 2 dan nilai n = 4.

KONSEP DASAR PROBABILITAS

Probabilitas atau dalam bahasa Indonesia sering di artikan kemungkinan adalah konsep dasar yang biasanya dipelajari pada awal-awal perkualiahan statistic. dalam postingan kali ini, saya akan menggunakan kata probabilitas.

Probabilitas adalah peluang terjadinya sebuah peristiwa. Biasanya probabilitas dinyatakan dalam pecahan seperti 1/2, 1/3, ¼ ataupun dalam bentuk decimal seperti 0,25, 0,50 ataupun 0,75. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. 

Contoh yang paling sering digunakan dalam menerangkan tentang konsep probabilitas adalah pelemparan mata uang. Jika kita melempar mata uang, maka kemungkinan sisi depan untuk muncul sama dengan kemungkinan munculnya sisi belakang. Dengan demikian, probabilitas munculnya sisi depan adalah 1/2 atau 0,5 dan demikian pula dengan sisi belakang. Akan tetapi jika kita mengambil satu kartu dari satu set kartu bridge yang berjumlah 52, maka kemungkinan terambilnya satu kartu adalah 1/52. 

Dua hal yang harus dipahami dalam konsep probabilitas adalah mutually exclusive dan collectively exhaustive. Mutually exclusive adalah peristiwa yang terjadi terpisah satu sama lain. ketika kita melempar uang logam, maka hanya ada satu sisi yang memiliki kemungkinan untuk muncul. Karena itulah kemungkinan munculnya sisi belakang atau sisi depan disebut mutually exclusive. Akan tetapi jika ada lebih dari satu kemungkinan untuk munculnya sebuah peristiwa maka hal itu disebut collectively exhaustic. 

Referensi :

http://sptikal.blogspot.co.id/2012/06/menentukan-ruang-sampel-suatu-percobaan.html 

http://www.rumusstatistik.com/2012/06/rumus-kombinasi.html

http://statistikpendidikanii.blogspot.co.id/2009/03/konsep-dasar-peobabilitas_04.html

Bab III UKURAN STASTIK

UKURAN STATISTIK

1. Ukuran Pemusatan

Ukuran Pemusatan merupakan ukuran yang dapat melihat bagaimana data tersebut mengumpul , ukuran pemusatan data yaitu mencari sebuah nilai yang dapat mewakili dari suatu rangkaian data.

A.    Macam-macam ukuran pemusatan data :

• Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean

Rata-Rata Hitung

Notasi  :          Miu  : rata-rata hitung populasi

                              x : rata-rata hitung populasi

      a. Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data

    : rata-rata hitung populasi

N      : ukuran Populasi

Miu  : rata-rata hitung sampel

n       : ukuran Sampel

xi      : data ke-i

Contoh :

  Misalkan diketahui Di kota  A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyakmahasiswa sebagai  berikut :  850, 1100, 1150, 1250, 750, 900

      Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A?

Rata-Rata Populasi atau Sampel ?

Jawab:

      

b. Rata-Rata untuk Grouped Data

Nilainya merupakan pendekatan

Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel

  : rata-rata hitung sampel

n    : ukuran Sampel

fi    : frekuensi di kelas ke-i

    xi   : Titik Tengah Kelas ke-i

Kelas	Titik Tengah Kelas (xi)	Frekuensi (fi)	fi xi
16-23	19.5	10	195
24-31	27.5	17	467.5
32-39	35.5	7	248.5
40-47	43.5	10	435
48-55	51.5	3	154.5
56-63	59.5	3	178.5
Jumlah ()		50	1679

Selain dengan rumus tersebut, dapat dicari dengan suatu nilai dugaan  (M)

Modus

      Nilai yang paling sering muncul

      Nilai yang frekuensinya paling tinggi

a. Modus untuk Ungrouped Data

Contoh :    Sumbangan PMI warga Depok

Rp.      7500   8000   9000      8000   3000   5000      8000

                  Modus : Rp. 8000

Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)

Bisa terjadi data tanpa modus

b. Modus untuk Grouped Data

Kelas Modus :  Kelas di mana Modus berada

                         Kelas dengan frekuensi tertinggi

di mana : 

      TBB : Tepi Batas Bawah

            d₁   : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya

            d₂   : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi                    Kelas sesudahnya

                     i     : interval kelas

Kelas	Frekuensi (fi)
16-23	10
24-31	17
32-39	7
40-47	10
48-55	3
56-63	3
Jumlah ()	50

Kelas Modus = 24 - 31

TBB Kelas Modus = 23.5

i = 8

frek. kelas Modus = 17

frek, kelas sebelum kelas Modus = 10

frek. kelas sesudah kelas Modus = 7

d₁   = 17 - 10   =   7

d₂   = 17 -   7   = 10

Median

a.Median untuk Ungrouped Data

Median ---> Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar

Letak Median --> Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir

Letak Median  = n+1/2 n : banyak data

·      Jika banyak data (n) ganjil dan tersortir, maka: 

            Median = Data ke n+1/2

·      Jika banyak data (n) genap dan tersortir, maka:

            Median = [Data ke 

Kuartil

Kuartil Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar

Letak Kuartil ke-1       = N/4

Letak Kuartil ke-2       = 2N/4 = N/4  Letak Median

Letak Kuartil ke-3       = 3N/4 n : banyak data

Kelas Kuartil ke-q : Kelas di mana Kuartil ke-q berada

Kelas Kuartil ke-q  didapatkan  dengan membandingkan Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif

                        q          : 1,2 dan 3

di mana :         TBB    : Tepi Batas Bawah

                          s         : selisih antara Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif 

  sebelum kelas Kuartil ke-q    

                       

TBA    : Tepi Batas Atas

                           s’      : selisih antara Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif 

                                       sampai kelas Kuartil ke-q

                           i        : interval kelas

                           f _Q     : Frekuensi kelas Kuartil ke-q

Contoh 4 : Tentukan Kuartil ke-3

Kelas	Frekuensi	Frek. Kumulatif
16 – 23	10	10
24 – 31	17	27
32 – 39	7	34
40 – 47	10	44
48 – 55	3	47
56 - 63	3	50
S	50	----

                                        Kelas Kuartil ke-3  

interval = i = 8

Letak Kuartil ke-3 = 3N/4 = 3X50/4 = 37.5

Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47

 \Kelas Kuartil ke-3  = 40 - 47

TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5 dan TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5

f _Q = 10

Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34  ---> s  = 37.5 - 34 = 3.5

Frek. Kumulatif sampai   Kelas Kuartil ke-3 = 44  ---> s’ = 44 - 37.5 = 6.5

DESIL

Desil Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10  bagian yang sama besar

Letak Desil ke-1          = n/10

Letak Desil ke-5          = 5n/10 = n/2 --- >Letak Median

Letak Desil ke-9          = 9n/10    n : banyak data

Kelas Desil ke-d : Kelas di mana Desil ke-d berada

Kelas Desil ke-d  didapatkan  dengan membandingkan Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif

di mana :         TBB    : Tepi Batas Bawah

                          s         : selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif 

  sebelum kelas Desil ke-d    

                       

TBA    : Tepi Batas Atas

                           s’      : selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif 

                                       sampai kelas Desil ke-d

                           i        : interval kelas

                           f _D     : Frekuensi kelas Desil ke-d

Contoh 5: Tentukan Desil ke-9

Kelas	Frekuensi	Frek. Kumulatif
16 - 23	10	10
24 - 31	17	27
32 - 39	7	34
40 - 47	10	44
48 - 55	3	47
56 - 63	3	50
S	50	----

                                       Kelas Desil ke-9

interval = i = 8

Letak Desil ke-9 = 9n/10 = 9x50/10 = 45

Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55

 \Kelas Desil ke-9  = 48 - 55

TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5 dan TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5

f _D = 3

Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44 ---> s  = 45 - 44  = 1

Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47 ---> s’ = 47 - 45  = 2

PERSENTIL

Persentil Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar

Letak Persentil ke-1    = n/100

Letak Persentil ke-50 = 50n/100 = n/2 Letak Median

Letak Persentil ke-99 = 99n/10 n : banyak data

Kelas Persentil ke-p : Kelas di mana Persentil ke-p berada

Kelas Persentil ke-p  didapatkan  dengan membandingkan Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif

p          : 1,2,3...99

di mana :         TBB    : Tepi Batas Bawah

                          s         : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi

  Kumulatif sebelum kelas Persentil ke-p    

                       

TBA    : Tepi Batas Atas

                           s’      : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi

                                      Kumulatif sampai kelas Persentil ke-p

                           i        : interval kelas

                           f _P     : Frekuensi kelas Persentil ke-p

            Contoh 6: Tentukan Persentil ke-56

Kelas	Frekuensi	Frek. Kumulatif
16 - 23	10	10
24 - 31	17	27
32 - 39	7	34
40 - 47	10	44
48 - 55	3	47
56 - 63	3	50
S	50	----

                             Kelas Persentil ke-56

interval = i = 8

Letak Persentil ke-56 = 56/100 = 56n/100 = 28

Persentil ke-56 = Data ke-28 terletak di kelas 32 - 39

 \Kelas Persentil ke-56 = 32 - 39

TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5 dan TBA Kelas Persentil ke-56 = 39.5

f _P = 7

Frek. Kumulatif sebelum Kelas Persentil ke-56 = 27 ---> s  = 28 - 27 = 1

Frek. Kumulatif sampai Kelas Persentil   ke-56 = 34 ---> s’ = 34 - 28 = 6

UKURAN  PENYEBARAN

1          Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi (Standard Deviation)

a.         Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data

POPULASI : 

Xi:       data ke-i

m  :       rata-rata populasi                    x:       rata-rata sampel

s²:       ragam populasi                         s²:        ragam sampel 

s :        simpangan baku populasi        s :simpangan baku

                                                            sampel

N :       ukuran populasi                      

n :        ukuran sampel

Contoh 3 :

Data Usia 5 mahasiswa :         18        19        20        21        22        tahun

a.         Hitunglah        m, s² dan s      (anggap data sebagai data     populasi)

b.         Hitunglah        , s²  dan s     (data adalah data sampel)

Jawab :

	xi	m atauXi	(Xi-m)  atau (xi-x)	(xi-m)²  atau (xi-x)²	xi2
	18	20	-2	4	324
	19	20	-1	1	361
	20	20	0	0	400
	21	20	1	1	441
	22	20	2	4	484
S	100	------	-------	10	2010

Koefisien Ragam

Koefisien Ragam = Koefisien Varians

Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data makin tinggi.

REFERENSI :

http://dokumen.tips/documents/ukuran-statistik2.html

http://rianindustrial.blogspot.co.id/2013/06/ukuran-pemusatan-dan-ukuran-penyebaran.html

http://www.slideshare.net/ratihbudiharto/ukuran-pemusatan-dan-penyebaran-59658780

http://matematika-lovers.blogspot.co.id/2012/04/ukuran-penyebaran-data.html

susys.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/233/Ukuran1.doc